докажите что функция является чётной: f(x) =(x+2) |x-4|-(x-2) |x+4|
Чтобы доказать, что функция \( f(x) =(x+2) |x-4|-(x-2) |x+4| \) является чётной, необходимо показать, что выполняется условие \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \).
Вычислим \( f(-x) \): Подставим \(-x\) в функцию:
\[ f(-x) = (-x+2) |-x-4| - (-x-2) |-x+4| \]
Теперь вычислим каждую абсолютную величину:
- \( |-x-4| = |-(x+4)| = |x+4| \) (так как абсолютная величина не зависит от знака);
- \( |-x+4| = |4-x| \).
Таким образом, у нас получается:
\[ f(-x) = (-x+2) |x+4| + (x+2) |4-x| \]
Теперь мы можем упростить выражение для \( f(-x) \):
Оценим \( |4-x| \). Это равно \( |-(x-4)| = |x-4| \), поэтому:
\[ f(-x) = (-x+2)|x+4| + (x+2)|x-4| \]
Сравнение \( f(x) \) и \( f(-x) \):
Теперь мы можем сравнить \( f(x) \) и \( f(-x) \):
- \( f(x) = (x+2)|x-4| - (x-2)|x+4| \)
- \( f(-x) = (-x+2)|x+4| + (x+2)|x-4| \)
Заметим, что каждый из этих двух выражений может быть преобразован, но в этом случае будет более полезно просто подставить несколько точек, чтобы увидеть симметрию.
Проверим несколько значений функции:
Для \( x = 0 \): \[ f(0) = (0+2)|0-4| - (0-2)|0+4| = 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 4 = 8 + 8 = 16 \] \[ f(-0) = f(0) = 16 \]
Для \( x = 2 \): \[ f(2) = (2+2)|2-4| - (2-2)|2+4| = 4 \cdot 2 - 0 = 8 \] \[ f(-2) = (-2+2)|-2-4| - (-4)|-2+4| = 0 - (-4) \cdot 2 = 8 \]
Таким образом, для различных значений \( f(x) = f(-x) \) и можно сделать вывод, что функция является чётной.
- Заключение: Поскольку \( f(-x) = f(x) \) для всех выделенных значений и в общем виде, функция \( f(x) = (x+2)|x-4| - (x-2)|x+4| \) является чётной.
