Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение движения автомобиля j=10+10t–0,5t2. Найти полное ускорение автомобиля в момент времени t=9 с.
Для решения задачи о движении автомобиля по закруглению шоссе, нужно найти полное ускорение автомобиля в момент времени \( t = 9 \) секунд. Полное ускорение включает в себя тангенциальное и центростремительное ускорение.
Найдем скорость автомобиля. Уравнение движения задано как: \[ j(t) = 10 + 10t - 0,5t^2 \] Чтобы найти скорость \( v(t) \), необходимо найти производную от \( j(t) \): \[ v(t) = \frac{dj}{dt} = 10 - t \] Подставим \( t = 9 \) секунд: \[ v(9) = 10 - 9 = 1 \text{ м/с} \]
Найдем тангенциальное ускорение. Тангенциальное ускорение \( a_t \) определяется как производная скорости: \[ a_t = \frac{dv}{dt} = -1 \text{ м/с}^2 \]
Найдем центростремительное ускорение. Оно рассчитывается по формуле: \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] где \( v = 1 \text{ м/с} \) и \( R = 50 \text{ м} \): \[ a_c = \frac{(1)^2}{50} = 0,02 \text{ м/с}^2 \]
Найдем полное ускорение. Полное ускорение \( a \) является векторной суммой тангенциального и центростремительного ускорений. Так как они направлены в разные стороны, их величины складываются: \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0,02)^2} = \sqrt{1 + 0,0004} = \sqrt{1,0004} \approx 1,0002 \text{ м/с}^2 \]
Таким образом, полное ускорение автомобиля в момент времени \( t = 9 \) секунд примерно равно \( 1,0002 \text{ м/с}^2 \).
