решить задачу. дано тангенс=-24/7 тангенс=15/8 найти косинус (альфа + Бетта)

Для решения задачи, применим формулу для косинуса суммы двух углов:

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \]

Мы знаем значения тангенсов:

\[ \tan(\alpha) = -\frac{24}{7}, \quad \tan(\beta) = \frac{15}{8} \]

Из значения тангенса мы можем найти синусы и косинусы:

Для угла \(\alpha\):

1. У нас есть \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\): \[ \sin(\alpha) = -24k, \quad \cos(\alpha) = 7k \quad (где \, k \, - \, произвольная \, положительная \, константа) \]

2. Найдем \(k\) так, чтобы удовлетворить основному тригонометрическому тождеству: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \] \[ (-24k)^2 + (7k)^2 = 1 \Rightarrow 576k^2 + 49k^2 = 1 \Rightarrow 625k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{625} \Rightarrow k = \frac{1}{25} \]

3. Теперь мы можем найти синусы и косинусы: \[ \sin(\alpha) = -24 \cdot \frac{1}{25} = -\frac{24}{25} \] \[ \cos(\alpha) = 7 \cdot \frac{1}{25} = \frac{7}{25} \]

Теперь для угла \(\beta\):

1. Аналогично: \[ \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \Rightarrow \sin(\beta) = 15m, \quad \cos(\beta) = 8m \]

2. Используем основное тождество: \[ (15m)^2 + (8m)^2 = 1 \Rightarrow 225m^2 + 64m^2 = 1 \Rightarrow 289m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{289} \Rightarrow m = \frac{1}{17} \]

3. Находим синусы и косинусы: \[ \sin(\beta) = 15 \cdot \frac{1}{17} = \frac{15}{17} \] \[ \cos(\beta) = 8 \cdot \frac{1}{17} = \frac{8}{17} \]

Теперь подставим в формулу для \(\cos(\alpha + \beta)\):

\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \] \[ = \left(\frac{7}{25} \cdot \frac{8}{17}\right) - \left(-\frac{24}{25} \cdot \frac{15}{17}\right) \] \[ = \frac{56}{425} + \frac{360}{425} = \frac{416}{425} \]

Таким образом, \(\cos(\alpha + \beta) = \frac{416}{425}\).