реши задачу дано синус =4/5 найти синус альфа/2 косинус альфа/2 тангенс альфа/2
Для решения задачи, давайте воспользуемся формулами для нахождения значений тригонометрических функций угла, деленного на два. У нас дано значение синуса угла \(\alpha\):
\[ \sin \alpha = \frac{4}{5} \]
Сначала найдем косинус угла \(\alpha\) с помощью теоремы Пифагора. Зная, что
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \]
можем выразить \(\cos \alpha\):
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \implies \cos \alpha = \pm \frac{3}{5}. \]
Так как синус положителен, допустим, что угол \(\alpha\) находится в первом или втором квадранте. Для первого квадранта считаем, что \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
Теперь можем найти \(\sin \frac{\alpha}{2}\) и \(\cos \frac{\alpha}{2}\) с помощью формул половинного угла:
\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \quad \text{и} \quad \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}. \]
Подставим значение \(\cos \alpha\):
- Находим \(\sin \frac{\alpha}{2}\):
\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \]
- Находим \(\cos \frac{\alpha}{2}\):
\[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \]
- Теперь найдем \(\tan \frac{\alpha}{2}\), которая равна \(\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\):
\[ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{2}. \]
Таким образом, мы получили:
\[ \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}. \]
