Хорды одной окружности пересекаются и концы хорд делят окружность на дуги, град. меры которых пропорциональны числам 3, 7, 2 и 6 последовательно. Найдите размер угла,…

Для того чтобы найти размер угла, образованного при пересечении хорд, можно воспользоваться свойством пересекающихся хорд.

Обозначим точки пересечения хорд как \(A\) и \(B\), а точки их пересечения с окружностью как \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\). Из условий задачи известно, что длины дуг \(CD\), \(DE\), \(EF\) и \(FC\) соотносятся как 3:7:2:6.

Сначала найдем общую сумму пропорций: \[ 3 + 7 + 2 + 6 = 18. \] Теперь найдем градусные меры каждой дуги, если окружность составляет 360 градусов:

• Дуга \(CD\): \[ \frac{3}{18} \cdot 360 = 60^\circ. \]

• Дуга \(DE\): \[ \frac{7}{18} \cdot 360 = 140^\circ. \]

• Дуга \(EF\): \[ \frac{2}{18} \cdot 360 = 40^\circ. \]

• Дуга \(FC\): \[ \frac{6}{18} \cdot 360 = 120^\circ. \]

Теперь, согласно теореме о пересечении хорд, угол \(\angle AOB\) (угол между хордами) равен половине разности величин дуг, которые они отсекают.

Находим, какие дуги отсекает каждая хорда:

• Первая хорда (от \(C\) до \(E\)) отсекает дуги \(CD\) и \(EF\): \[ \text{Угол} = \frac{1}{2} \left( m(CD) + m(EF) \right) = \frac{1}{2} (60^\circ + 40^\circ) = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ. \]

• Вторая хорда (от \(D\) до \(F\)) отсекает дуги \(DE\) и \(FC\): \[ \text{Угол} = \frac{1}{2} \left( m(DE) + m(FC) \right) = \frac{1}{2} (140^\circ + 120^\circ) = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ. \]

Теперь мы можем найти угол \(\angle AOB\) между двумя хорд: \[ \theta = \frac{1}{2} | m(DE) - m(CD) | = \frac{1}{2} | 140^\circ - 60^\circ | = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ. \]

В итоге, угол, образованный при пересечении хорд, равен \(40^\circ\).