для функции f(x)=3x²-1/x² найдите первообразную график которой проходит через точку А(-2; 3)
Для функции \( f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x^2} \) нам нужно найти первообразную (антидериват) и определить её так, чтобы график проходил через заданную точку \( A(-2; 3) \).
Найдем первообразную функции:
Выразим функцию: \[ f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x^2} \]
Для нахождения первообразной нам нужно проинтегрировать каждое слагаемое:
Первообразная от \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \,dx = x^3 \]
Первообразная от \( -\frac{1}{x^2} \): \[ \int -\frac{1}{x^2} \,dx = \frac{1}{x} \quad (\text{прибавим знак -}) \]
Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) будет равна: \[ F(x) = x^3 + \frac{1}{x} + C \] где \( C \) — это произвольная константа интегрирования.
Определим значение константы \( C \) через точку \( A(-2; 3) \):
Подставим координаты точки \( A \) в полученное уравнение: \[ F(-2) = (-2)^3 + \frac{1}{-2} + C = 3 \]
Вычислим \( F(-2) \): \[ F(-2) = -8 - \frac{1}{2} + C = 3 \] \[ -8 - 0.5 + C = 3 \] \[ C - 8.5 = 3 \] \[ C = 3 + 8.5 = 11.5 \]
Запишем окончательный вид первообразной: \[ F(x) = x^3 + \frac{1}{x} + 11.5 \]
Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x^2} \), проходящая через точку \( A(-2; 3) \), имеет вид: \[ F(x) = x^3 + \frac{1}{x} + 11.5 \]
