вычислите 4 | (x+корень из x /x) dx 1
Чтобы вычислить определённый интеграл
\[ \int_{1}^{4} (x + \sqrt{\frac{x}{x}}) \, dx, \]
сначала упростим выражение под интегралом.
Мы знаем, что \(\sqrt{\frac{x}{x}} = \sqrt{1} = 1\) для \(x > 0\). Таким образом, интеграл становится:
\[ \int_{1}^{4} (x + 1) \, dx. \]
Теперь разложим интеграл:
\[ \int_{1}^{4} (x + 1) \, dx = \int_{1}^{4} x \, dx + \int_{1}^{4} 1 \, dx. \]
Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности.
- Для \(\int_{1}^{4} x \, dx\):
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2}. \]
Оценим его в пределах от 1 до 4:
\[ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = 8 - 0.5 = 7.5. \]
- Для \(\int_{1}^{4} 1 \, dx\):
\[ \int 1 \, dx = x. \]
Оценим его в пределах от 1 до 4:
\[ \left[ x \right]_{1}^{4} = 4 - 1 = 3. \]
Теперь объединим результаты:
\[ \int_{1}^{4} (x + 1) \, dx = 7.5 + 3 = 10.5. \]
Таким образом, значение интеграла
\[ \int_{1}^{4} (x + \sqrt{\frac{x}{x}}) \, dx = 10.5. \]
