вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у =1-х² ;у=-3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = 1 - x^2 \) и \( y = -3 \), нужно сначала найти точки пересечения этих двух кривых.

1. Найдем точки пересечения: Установим равенство: \[ 1 - x^2 = -3 \] Переносим все элементы на одну сторону уравнения: \[ x^2 = 1 + 3 = 4 \] Таким образом, \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2. \]

2. Определим границы интегрирования: Мы получили, что фигура ограничена вертикальными линиями \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

3. Вычислим площадь фигуры: Площадь фигуры можно найти с помощью интеграла. Функция \( y = 1 - x^2 \) будет выше функции \( y = -3 \) на интервале от \( x = -2 \) до \( x = 2 \). Площадь фигуры будет: \[ S = \int_{-2}^{2} [(1 - x^2) - (-3)] \, dx = \int_{-2}^{2} (1 - x^2 + 3) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx. \]

4. Вычислим интеграл: \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx. \] Вычислим каждый интеграл отдельно: \[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4[x]_{-2}^{2} = 4(2 - (-2)) = 4 \cdot 4 = 16. \] \[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}. \] Теперь подставим значения обратно в формулу для площади: \[ S = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}. \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет \(\frac{32}{3}\) квадратных единиц.