Постройте график функции. Определите, при каких значениях 𝑚 прямая 𝑦 = 𝑚 имеет с графиком одну или две общие точки.
Привет! Давай разберёмся с этой задачей.
Функция у нас кусочная, то есть она задана двумя частями:
- \( y = x^2 + 4x + 4 \) для \( x \geq -3 \)
- \( y = \frac{3}{-x} \) для \( x < -3 \)
Нам нужно построить график функции и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком одну или две общие точки.
Шаги решения:
Построение графика.
Для \( x^2 + 4x + 4 \): это квадратная функция (парабола), которая открывается вверх. Вершину можно найти с помощью формулы вершины. Это будет точка (-2, 0).
Для \( \frac{3}{-x} \): это гипербола, перевёрнутая ось симметрии по прямой \( x = -3 \).
Определение пересечения с прямой \( y = m \).
Для части \( x^2 + 4x + 4 \): решаем уравнение \( x^2 + 4x + 4 = m \). Это квадратное уравнение, которое может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от дискриминанта (D).
Для части \( \frac{3}{-x} \): решаем уравнение \( \frac{3}{-x} = m \), где x < -3.
Анализ количеств решений.
Для одного решения: дискриминант квадратного уравнения должен быть равен 0.
Для двух решений: дискриминант больше 0.
Для гиперболы, решаем \( m = \frac{3}{-x} \) и смотрим, когда пересечение возможно.
На что обратить внимание:
- Вершина параболы даёт ключ к значению \( m \), при котором прямая касается параболы.
- Гипербола определяется для \( x < -3 \) и не касается вертикальной асимптоты.
Вывод:
Теперь надо попробовать вручную провести линии \( y = m \) и посмотреть, при каких \( m \) они будут касаться или пересекать график.
Если что непонятно, спрашивай!
