В большую кастрюлю, частично заполненную водой, добавили 1 л сиропа. Плотность содержимого в кастрюле возросла на 0,02 г/см , а объем того, что содержится в кастрюле, увеличился на четверть. Чему равна плотность сиропа? Считайте, что сироп хорошо растворяется в воде и что объем смеси равен сумме объемов исходных жидкостей. Плотность воды равна 1000 кг/м3
Для решения задачи обозначим известные величины и используем формулы для вычисления плотности и объема.
Начальные данные:
- Объем добавленного сиропа: \( V_s = 1 \) л = \( 1000 \) см³.
- Увеличение плотности: \( \Delta \rho = 0,02 \) г/см³.
- Увеличение объема смеси: если начальный объем воды \( V_w \), то новый объем \( V_{new} = V_w + 1000 \) см³. Увеличение объема на четверть означает: \[ V_{new} = V_w + \frac{1}{4} V_w = \frac{5}{4} V_w. \]
Отсюда получаем: \[ V_w + 1000 = \frac{5}{4} V_w. \] Перепишем уравнение: \[ 1000 = \frac{5}{4} V_w - V_w. \] Упрощаем это: \[ 1000 = \frac{5}{4} V_w - \frac{4}{4} V_w = \frac{1}{4} V_w. \] Теперь решим его: \[ V_w = 1000 \times 4 = 4000 \text{ см}^3. \]
Теперь найдем массу жидкости: Плотность воды \( \rho_w = 1 \) г/см³, таким образом: \[ m_w = \rho_w \cdot V_w = 1 \text{ г/см}^3 \cdot 4000 \text{ см}^3 = 4000 \text{ г}. \] Масса сиропа, будем обозначать ее как \( m_s \), с плотностью \( \rho_s \): \[ m_s = \rho_s \cdot V_s = \rho_s \cdot 1000. \]
Найдем новую плотность смеси: С массой смеси: \[ m_{mix} = m_w + m_s = 4000 \text{ г} + \rho_s \cdot 1000. \] Объем смеси: \[ V_{mix} = V_{w} + V_s = 4000 \text{ см}^3 + 1000 \text{ см}^3 = 5000 \text{ см}^3. \]
Теперь можем вычислить новую плотность смеси: \[ \rho_{mix} = \frac{m_{mix}}{V_{mix}} = \frac{4000 + \rho_s \cdot 1000}{5000}. \]
Согласно условию задачи, новая плотность на 0,02 г/см³ больше, чем плотность воды: \[ \rho_{mix} = 1 + 0,02 = 1,02 \text{ г/см}^3. \]
Подставим эту величину в уравнение: \[ 1,02 = \frac{4000 + \rho_s \cdot 1000}{5000}. \]
Преобразуем уравнение: Умножим обе стороны на 5000: \[ 1,02 \cdot 5000 = 4000 + \rho_s \cdot 1000. \] Вычисляем: \[ 5100 = 4000 + \rho_s \cdot 1000. \] Теперь решим уравнение для \( \rho_s \): \[ \rho_s \cdot 1000 = 5100 - 4000 = 1100. \] Следовательно: \[ \rho_s = \frac{1100}{1000} = 1,1 \text{ г/см}^3. \]
Таким образом, плотность сиропа равна \( 1,1 \text{ г/см}^3 \).
