№3 Даны Точкт A (1; 3; o), в(2: 3; -1)и с(1: 2; -1). Вычислите угол между векторами CA и СВ.

Для вычисления угла между векторами CA и CB, сначала найдем координаты этих векторов.

1. Находим векторы CA и CB:

   • Вектор CA = A - C = (1, 3, 0) - (1, 2, -1) = (1-1, 3-2, 0+1) = (0, 1, 1)
   • Вектор CB = B - C = (2, 3, -1) - (1, 2, -1) = (2-1, 3-2, -1+1) = (1, 1, 0)

2. Вычисляем скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов CA и CB равно: \[ CA \cdot CB = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 1 + 0 = 1 \]

3. Находим длины векторов CA и CB. Длина вектора CA: \[ ||CA|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Длина вектора CB: \[ ||CB|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \]

4. Вычисляем угол между векторами с помощью косинуса угла. Косинус угла θ между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{CA \cdot CB}{||CA|| \cdot ||CB||} \] Подставляем найденные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

5. Находим угол θ. Угол θ можно определить как: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \]

Таким образом, угол между векторами CA и CB составляет 60 градусов.