Реши уравнение (x-1)(x²+8x-16)=6(x+4)
Чтобы решить уравнение \((x-1)(x²+8x-16)=6(x+4)\), давайте сначала упростим обе стороны уравнения.
- Раскроем скобки с левой стороны:
\[ (x-1)(x²+8x-16) = x(x²+8x-16) - 1(x²+8x-16) \]
Это даст:
\[ x^3 + 8x^2 - 16x - (x^2 + 8x - 16) = x^3 + 7x^2 - 8x + 16 \]
Таким образом, мы получаем:
\[ x^3 + 7x^2 - 8x + 16 \]
- Теперь разберемся с правой стороной:
\[ 6(x+4) = 6x + 24 \]
- Теперь у нас есть следующее уравнение:
\[ x^3 + 7x^2 - 8x + 16 = 6x + 24 \]
- Переносим все члены на одну сторону, чтобы получить равенство, равное нулю:
\[ x^3 + 7x^2 - 8x - 6x + 16 - 24 = 0 \]
Это упростится до:
\[ x^3 + 7x^2 - 14x - 8 = 0 \]
- Теперь попробуем найти корни этого кубического уравнения. Можно использовать метод подбора или теорему Виета.
Проверим \(x = 2\):
\[ 2^3 + 7(2^2) - 14(2) - 8 = 8 + 28 - 28 - 8 = 0 \]
Таким образом, \(x = 2\) - один из корней. Теперь мы можем раскладывать уравнение на множители путем деления:
- Делим \(x^3 + 7x^2 - 14x - 8\) на \((x - 2)\) с помощью деления многочленов:
После деления многочленов, мы получим:
\[ x^3 + 7x^2 - 14x - 8 = (x-2)(x^2 + 9x + 4) \]
- Теперь нам необходимо решить \(x^2 + 9x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65 \]
- Корни этого уравнения:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-9 \pm \sqrt{65}}}{2} \]
Таким образом, у нас есть три решения:
\(x = 2\)
\(x = \frac{{-9 + \sqrt{65}}}{2}\)
\(x = \frac{{-9 - \sqrt{65}}}{2}\)
Это и есть основные корни уравнения. Если вам нужно больше объяснений или примеров, не стесняйтесь задавать вопросы!
