Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями у=-х²-2х у=0
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = -x^2 - 2x \) и осью \( y = 0 \), необходимо сначала найти точки пересечения этих двух линий.
Найдем точки пересечения: Мы уравняем функцию \( y \) с нулем: \[ -x^2 - 2x = 0 \] Факторизуем уравнение: \[ -x(x + 2) = 0 \] Таким образом, у нас есть два корня: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2 \]
Площадь под кривой: Теперь мы знаем, что фигура ограничена от \( x = -2 \) до \( x = 0 \). Площадь под кривой можно найти, интегрируя функцию \( y \) от \(-2\) до \(0\): \[ S = \int_{-2}^{0} (-x^2 - 2x) \, dx \]
Вычислим интеграл: Разделим интеграл на части: \[ S = \int_{-2}^{0} -x^2 \, dx - \int_{-2}^{0} 2x \, dx \]
Вычислим каждый из интегралов: \[ \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} \] \[ \int 2x \, dx = x^2 \]
Подставим пределы: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{0} - \left[x^2\right]_{-2}^{0} \]
Теперь вычислим: \[ S = \left[-\frac{0^3}{3} + \frac{(-2)^3}{3}\right] - \left[0^2 - (-2)^2\right] \] \[ = \left[0 + \frac{-8}{3}\right] - \left[0 - 4\right] \] \[ = -\frac{8}{3} + 4 \] \[ = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3} \]
Итог: Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = -x^2 - 2x \) и осью \( y = 0 \), равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.
