Даны три вектора a = (2, 3, 1) , b = (5, 7, 0) , c = (3, 2, - 4) . Найти координаты вектора d-3a-3b+c , его длину и направляющие косинусы.
Давай решим задачу шаг за шагом.
Находим координаты вектора \(d\):
Дано: \[ a = (2, 3, 1), \quad b = (5, 7, 0), \quad c = (3, 2, -4) \]
Вектор \(d\) вычисляется по формуле: \[ d = -3a - 3b + c \]
Сначала вычислим \( -3a \): \[ -3a = -3 \cdot (2, 3, 1) = (-6, -9, -3) \]
Теперь вычислим \( -3b \): \[ -3b = -3 \cdot (5, 7, 0) = (-15, -21, 0) \]
Теперь сложим все вектора: \[ d = (-6, -9, -3) + (-15, -21, 0) + (3, 2, -4) \] Сначала складываем \( (-6, -9, -3) + (-15, -21, 0) \): \[ (-6 - 15, -9 - 21, -3 + 0) = (-21, -30, -3) \]
Теперь добавим \(c\): \[ d = (-21, -30, -3) + (3, 2, -4) = (-21 + 3, -30 + 2, -3 - 4) = (-18, -28, -7) \]
Таким образом, координаты вектора \(d\): \[ d = (-18, -28, -7) \]
Находим длину вектора \(d\):
Длина вектора вычисляется по формуле: \[ |d| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Подставим координаты: \[ |d| = \sqrt{(-18)^2 + (-28)^2 + (-7)^2} = \sqrt{324 + 784 + 49} = \sqrt{1157} \]
Приблизительно, это равно: \[ |d| \approx 34.0 \]
Находим направляющие косинусы:
Направляющие косинусы \( \cos(\alpha) \), \( \cos(\beta) \) и \( \cos(\gamma) \) находятся по формуле: \[ \cos(\alpha) = \frac{x}{|d|}, \quad \cos(\beta) = \frac{y}{|d|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{z}{|d|} \]
Подставим значения: \[ \cos(\alpha) = \frac{-18}{\sqrt{1157}}, \quad \cos(\beta) = \frac{-28}{\sqrt{1157}}, \quad \cos(\gamma) = \frac{-7}{\sqrt{1157}} \]
Таким образом, направления косинусы будут: \[ \cos(\alpha) \approx -0.530, \quad \cos(\beta) \approx -0.738, \quad \cos(\gamma) \approx -0.205 \]
Итак, вектор \(d\) имеет координаты \((-18, -28, -7)\), его длина приблизительно равна \(34.0\), а направляющие косинусы: \[ \cos(\alpha) \approx -0.530, \quad \cos(\beta) \approx -0.738, \quad \cos(\gamma) \approx -0.205 \]
