Через точку пересечения медиан грани ВСD тетраэдра проведена плоскость, параллельная грани АВС. Площадь полученного сечения равна 48 см2. Найдите площадь гра-ни АВС.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством сечений тетраэдров. Если плоскость параллельна одной из граней тетраэдра, то ее сечение является подобным этой грани, и площади будут соотноситься как квадрат коэффициента подобия.

В нашем случае известно, что площадь сечения равна 48 см², и это сечение ограничено плоскостью, проведенной через точку пересечения медиан грани BCD. Поскольку точки пересечения медиан разделяют каждую из медиан в отношении 2:1, то плоскость, проведенная через эту точку, делит высоту тетраэдра от вершины A на части в отношении 2:1.

Таким образом, коэффициент подобия между сечением и гранью ABC равен \( \frac{1}{3} \), поскольку высота сечения равна одной третьей высоты полной грань ABC.

Если площадь сечения равна 48 см², то площадь грани ABC можно найти с помощью формулы для площади, учитывающей коэффициент подобия:

\[ S_{ABC} = S_{сечения} \times k^2, \]

где \( k \) — коэффициент подобия. В нашем случае:

\[ k = 3 \rightarrow k^2 = 9. \]

Подставляем известные значения:

\[ S_{ABC} = 48 \, \text{см}^2 \times 9 = 432 \, \text{см}^2. \]

Таким образом, площадь грани ABC составляет 432 см².