В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся: а) мужчинами; б) женщинами; в) лицами одного пола.

Question 1

Задача Задача №2027730

А

Аноним

28 октября 2024 04:16 · публичный вопрос

А

Аноним 28 октября 2024 04:16

В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся: а) мужчинами; б) женщинами; в) лицами одного пола.

Answer

Для решения этой задачи воспользуемся принципом комбинаторики и формулой вероятности.

Общая информация:

В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины, всего 10 человек.

Обозначим:

Всего людей в цехе \( n = 10 \) (7 мужчин + 3 женщины).
\( C(n, k) \) – это количество способов выбрать \( k \) человек из \( n \).

Формула для комбинаторного выбора: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

1. Вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами:

Количество способов выбрать 3 мужчин из 7: \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \]

Общее количество способов выбрать 3 человека из 10: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Вероятность: \[ P(все \; мужчины) = \frac{C(7, 3)}{C(10, 3)} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \]

2. Вероятность того, что все отобранные лица окажутся женщинами:

Количество способов выбрать 3 женщины из 3: \[ C(3, 3) = 1 \]

Вероятность: \[ P(все \; женщины) = \frac{C(3, 3)}{C(10, 3)} = \frac{1}{120} \]

3. Вероятность того, что лица одного пола:

Здесь рассматриваем два сценария: все мужчины или все женщины.

Вероятность того, что все мужчины: \[ P(все \; мужчины) = \frac{7}{24} \]

Вероятность того, что все женщины: \[ P(все \; женщины) = \frac{1}{120} \]

Суммируем вероятности: \[ P(одного \; пола) = P(все \; мужчины) + P(все \; женщины) = \frac{7}{24} + \frac{1}{120} \]

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, которым будет 120: \[ \frac{7}{24} = \frac{35}{120} \] Следовательно: \[ P(одного \; пола) = \frac{35}{120} + \frac{1}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \]

Ответы:

а) Вероятность, что все отобранные лица окажутся мужчинами: \( \frac{7}{24} \)
б) Вероятность, что все отобранные лица окажутся женщинами: \( \frac{1}{120} \)
в) Вероятность, что все отобранные лица окажутся одного пола: \( \frac{3}{10} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся: а) мужчинами; б) женщинами; в) лицами одного пола.

Answer

Для решения этой задачи воспользуемся принципом комбинаторики и формулой вероятности. ### Общая информация: В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины, всего 10 человек. Обозначим: - Всего людей в цехе \( n = 10 \) (7 мужчин + 3 женщины). - \( C(n, k) \) – это количество способов выбрать \( k \) человек из \( n \). **Формула для комбинаторного выбора:** \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### 1. Вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами: **Количество способов выбрать 3 мужчин из 7:** \[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] **Общее количество способов выбрать 3 человека из 10:** \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \] **Вероятность:** \[ P(все \; мужчины) = \frac{C(7, 3)}{C(10, 3)} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \] ### 2. Вероятность того, что все отобранные лица окажутся женщинами: **Количество способов выбрать 3 женщины из 3:** \[ C(3, 3) = 1 \] **Вероятность:** \[ P(все \; женщины) = \frac{C(3, 3)}{C(10, 3)} = \frac{1}{120} \] ### 3. Вероятность того, что лица одного пола: Здесь рассматриваем два сценария: все мужчины или все женщины. **Вероятность того, что все мужчины:** \[ P(все \; мужчины) = \frac{7}{24} \] **Вероятность того, что все женщины:** \[ P(все \; женщины) = \frac{1}{120} \] **Суммируем вероятности:** \[ P(одного \; пола) = P(все \; мужчины) + P(все \; женщины) = \frac{7}{24} + \frac{1}{120} \] Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, которым будет 120: \[ \frac{7}{24} = \frac{35}{120} \] Следовательно: \[ P(одного \; пола) = \frac{35}{120} + \frac{1}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \] ### Ответы: а) Вероятность, что все отобранные лица окажутся мужчинами: \( \frac{7}{24} \) б) Вероятность, что все отобранные лица окажутся женщинами: \( \frac{1}{120} \) в) Вероятность, что все отобранные лица окажутся одного пола: \( \frac{3}{10} \) Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!