2 cos²2-3 sin x = 0
Решим уравнение \(2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0\).
Начнем с того, что мы можем выразить \(\cos^2 x\) через \(\sin x\): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это выражение в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0 \] Раскроем скобки: \[ 2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0 \]
Упорядочим уравнение: \[ -2 \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \] Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов: \[ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Обозначим \(y = \sin x\), и у нас получится: \[ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \]
Используем формулу решениe квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = -2 \] Подставляем значения: \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \] \[ y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} \] \[ y = \frac{-3 \pm 5}{4} \]
Найдем два возможных значения для \(y\):
- Первое значение: \[ y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- Второе значение: \[ y = \frac{-8}{4} = -2 \]
Отклоняем \(y = -2\), так как значение \(\sin x\) находится в интервале \([-1, 1]\). Итак, мы имеем: \[ \sin x = \frac{1}{2} \]
Теперь найдем \(x\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, решение уравнения \(2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0\) даёт нам значения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
