р. Решите уравнение 2 cos²2-3 sin x = 0 Методом введения новой переменной 2
Давайте решим уравнение \( 2\cos^2 x - 3\sin x = 0 \) методом введения новой переменной.
Введем новую переменную. Обозначим \( y = \sin x \). Тогда \( \cos^2 x \) можно выразить через \( y \) следующим образом: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - y^2 \]
Подставим новое выражение в уравнение: \[ 2(1 - y^2) - 3y = 0 \]
Упростим уравнение: \[ 2 - 2y^2 - 3y = 0 \] Перепишем это уравнение: \[ -2y^2 - 3y + 2 = 0 \] Для удобства, умножим на -1: \[ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \): \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
Находим корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ y = \frac{-3 \pm 5}{4} \] Будем решать для двух случаев:
- Первый случай: \( y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
- Второй случай: \( y = \frac{-8}{4} = -2 \) (не подходит, так как \( y \) находится в пределах от -1 до 1)
Решим уравнение \( \sin x = \frac{1}{2} \): Угол, при котором синус равен \( \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, решения уравнения \( 2\cos^2 x - 3\sin x = 0 \) будут: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
