∫(x√x - 1/√x + 1) dx

Для решения интеграла \(\int (x\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} + 1) \, dx\) давайте сначала упрощать каждую часть.

1. Упрощение выражения:
   • Заметим, что \(x\sqrt{x} = x^{3/2}\).
   • Кроме того, \(-\frac{1}{\sqrt{x}} = -x^{-1/2}\).
   • Третий член — это просто \(1\), или \(x^0\).

Таким образом, под интегралом мы имеем следующее: \[ \int \left( x^{3/2} - x^{-1/2} + 1 \right) \, dx. \]

2. Интегрирование каждого члена:

   • Интеграл от \(x^{3/2}\) равен \(\frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}\).
   • Интеграл от \(-x^{-1/2}\) равен \(-2x^{1/2}\) (поскольку интеграл от \(x^{-1/2}\) равен \(2x^{1/2}\)).
   • Интеграл от \(1\) равен \(x\).

3. Собираем все части вместе и добавляем константу интегрирования: \[ \int (x^{3/2} - x^{-1/2} + 1) \, dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{1/2} + x + C, \] где \(C\) — произвольная константа.

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{1/2} + x + C. \]