√2х-1-√х-1=1 решить иррациональные упражнение

Чтобы решить уравнение \( \sqrt{2x - 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \), следуйте этим шагам:

1. Переместите один корень на другую сторону: \[ \sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 1} + 1 \]

2. Возведите обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ (\sqrt{2x - 1})^2 = (\sqrt{x - 1} + 1)^2 \] Это даёт: \[ 2x - 1 = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1 \] Упрощая правую часть, получаем: \[ 2x - 1 = x + 2\sqrt{x - 1} \]

3. Переместите все, что не относится к квадратному корню, в одну сторону: \[ 2x - 1 - x = 2\sqrt{x - 1} \] Таким образом,: \[ x - 1 = 2\sqrt{x - 1} \]

4. Теперь снова возводим обе стороны в квадрат: \[ (x - 1)^2 = (2\sqrt{x - 1})^2 \] Получаем: \[ (x - 1)^2 = 4(x - 1) \]

5. Переносим все на одну сторону: \[ (x - 1)^2 - 4(x - 1) = 0 \] Это уравнение можно привести к виду: \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \]

6. Находим корни: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \]

7. Теперь проверим, являются ли найденные корни решением исходного уравнения:

   • Для \( x = 1 \): \[ \sqrt{2(1) - 1} - \sqrt{1 - 1} \neq 1 \quad \text{(не подходит)} \]

   • Для \( x = 5 \): \[ \sqrt{2(5) - 1} - \sqrt{5 - 1} = \sqrt{10 - 1} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2 = 3 - 2 = 1 \quad \text{(подходит)} \]

Таким образом, решение уравнения \( \sqrt{2x - 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \) — это \(\boxed{5}\).