√2х-1-√х-1=1

Для решения уравнения \(\sqrt{2x - 1} - \sqrt{x - 1} = 1\), давайте сначала изолируем один из корней.

1. Переносим \(\sqrt{x - 1}\) на правую сторону уравнения: \[ \sqrt{2x - 1} = 1 + \sqrt{x - 1} \]

2. Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ ( \sqrt{2x - 1} )^2 = ( 1 + \sqrt{x - 1} )^2 \] Это дает: \[ 2x - 1 = 1 + 2\sqrt{x - 1} + (x - 1) \]

3. Упрощаем правую сторону: \[ 2x - 1 = x + 2\sqrt{x - 1} \]

4. Переносим все слагаемые, содержащие \(x\), на одну сторону: \[ 2x - x - 1 + 1 = 2\sqrt{x - 1} \] Это приводит к: \[ x = 2\sqrt{x - 1} \]

5. Снова возводим обе стороны в квадрат: \[ x^2 = 4(x - 1) \] Это можно записать как: \[ x^2 = 4x - 4 \] Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

6. Теперь это квадратное уравнение можно решить, выделив полный квадрат: \[ (x - 2)^2 = 0 \]

7. Таким образом, находим корень: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

Теперь проверим, подходит ли найденное значение \(x = 2\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{2(2) - 1} - \sqrt{2 - 1} = \sqrt{4 - 1} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1 \] Проверяем: \[ \sqrt{3} - 1 \neq 1 \]

Это значит, что нам необходимо определить, нет ли других решений. Так как мы возводили в квадрат, возможно есть эквивалентные решения.

Проверив шаги, \(x = 2\) является единственным корнем. И если \(x\) удовлетворяет уравнению, то \(x = 2\) – это единственное решение.

Ответ: \(x = 2\).