х⁴+5х³-7х²-29х+30=0
Для решения уравнения \( x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0 \) мы можем использовать метод подбора корней или метод деления многочленов, а также теорему Виета.
Подбор корней: Попробуем подставить некоторые значения \( x \), чтобы найти корни уравнения. Обычно начинаем с целых значений.
Проверим \( x = 1 \): \[ 1^4 + 5 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 - 29 \cdot 1 + 30 = 1 + 5 - 7 - 29 + 30 = 0. \] Значит, \( x = 1 \) — корень.
Деление на \( x - 1 \): Теперь можем разделить многочлен на \( x - 1 \) с помощью синтетического деления или полного деления многочленов.
После деления будет получен многочлен третьей степени (поскольку степень была 4, а корень один):
\( x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = (x - 1)(x^3 + 6x^2 - x - 30) \).
Поиск корней кубического уравнения: Теперь необходимо решить кубическое уравнение \( x^3 + 6x^2 - x - 30 = 0 \). Для этого можно снова использовать метод подбора.
Проверим \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 - (-2) - 30 = -8 + 24 + 2 - 30 = -12. \text{ (не корень)} \]
Проверим \( x = -3 \): \[ (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 - (-3) - 30 = -27 + 54 + 3 - 30 = 0. \] Значит, \( x = -3 \) — корень.
Деление на \( x + 3 \): Теперь делим \( x^3 + 6x^2 - x - 30 \) на \( x + 3 \):
После деления получаем: \( x^3 + 6x^2 - x - 30 = (x + 3)(x^2 + 3x - 10) \).
Решение квадратного уравнения: Остаётся решить квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49. \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-3 \pm 7}}{2} = \{2, -5\}. \]
Теперь у нас есть все корни уравнения:
- \( x = 1 \)
- \( x = -3 \)
- \( x = 2 \)
- \( x = -5 \)
Таким образом, уравнение \( x^4 + 5x^3 - 7x^2 - 29x + 30 = 0 \) имеет следующие корни: \( x = 1, -3, 2, -5 \).
