Постройте график функции у = x* -х - 2. С помощью графика найдите: а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному - 1,5; б) значения аргумента, при которых…

Чтобы выполнить вашу просьбу, начнем с анализа функции. Функция задана как:

\[ y = x^2 - x - 2 \]

1. Построение графика функции

График этой функции является параболой, открытой вверх. Для построения графика можно найти вершину параболы и её пересечения с осью Y и осью X.

Находим корни функции (пересечения с осью X):

Ищем, где \( y = 0 \):

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, корни:

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]

Находим значение функции при \( x = 0 \) (пересечение с осью Y):

\[ y = 0^2 - 0 - 2 = -2 \]

Вершина параболы:

Формула для координаты вершины параболы, заданной уравнением \( y = ax^2 + bx + c \):

\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \]

Подставляем \( x = \frac{1}{2} \) в уравнение для нахождения \( y \):

\[ y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} \]

2. Найдем значение функции для \( x = -1.5 \):

Подставляем \( x = -1.5 \):

\[ y = (-1.5)^2 - (-1.5) - 2 = 2.25 + 1.5 - 2 = 1.75 \]

Таким образом, значение функции при \( x = -1.5 \) равно 1.75.

3. Найдем значения аргумента, при которых значение функции равно 3:

Решаем уравнение:

\[ x^2 - x - 2 = 3 \]

Переписываем:

\[ x^2 - x - 5 = 0 \]

Решаем с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2} \]

4. Промежутки знакопостоянства функции:

Парабола имеет общий вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a > 0 \), значит, функция положительна за пределами её корней.

Корни у нас: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \). Таким образом:

• Функция отрицательна на промежутке: \( (-1; 2) \)
• Функция положительна на промежутках: \( (-\infty; -1) \) и \( (2; +\infty) \)

5. Промежутки возрастания и убывания функции:

• Убывание: \( (-\infty; \frac{1}{2}) \)
• Возрастание: \( (\frac{1}{2}; +\infty) \)

6. Область значений функции:

Минимальное значение функции \( -\frac{9}{4} \) (при \( x = \frac{1}{2} \)).

Следовательно, область значений:

\[ y \in \left[-\frac{9}{4}; +\infty\right) \]

Ответы:

а) \( y(-1.5) = 1.75 \)

б) Значения аргумента, при которых \( y = 3 \):

\[ x = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \quad x = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \]

в) Промежутки знакопостоянства: \( (-\infty; -1) \) (положительно), \( (-1; 2) \) (отрицательно), \( (2; +\infty) \) (положительно)

г) Промежутки возрастания и убывания: убывание на \( (-\infty; \frac{1}{2}) \), возрастание на \( (\frac{1}{2}; +\infty) \)

д) Область значений:

\[ y \in \left[-\frac{9}{4}; +\infty\right) \]