Дано синус =-3/5 найти синус 2 альфа косинус 2 альфа тангенс 2 альфа

Для решения задачи с заданным значением синуса угла, воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:

1. Формула для нахождения синуса двойного угла: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

2. Формула для нахождения косинуса двойного угла: \[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

3. Формула для нахождения тангенса двойного угла: \[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} \]

У нас есть значение \(\sin(\alpha) = -\frac{3}{5}\). Чтобы найти \(\cos(\alpha)\), воспользуемся основным тригонометрическим соотношением: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1. \] Подставим известное значение: \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1. \] Это упрощается до: \[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1, \] \[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}. \] Следовательно, \(\cos(\alpha) = \pm\frac{4}{5}\). Чтобы определить знак, нужно учитывать, в каком квадранте находится угол. Если \(\sin(\alpha) = -\frac{3}{5}\), это может означать, что угол находится в III или IV квадранте. Предположим, что \(\alpha\) находится в IV квадранте, тогда \(\cos(\alpha) = \frac{4}{5}\).

Теперь вычислим \(\sin(2\alpha)\): \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}. \]

Теперь найдем \(\cos(2\alpha)\): \[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}. \]

И, наконец, найдем \(\tan(2\alpha)\). Сначала найдем \(\tan(\alpha)\): \[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}. \] Теперь можем использовать формулу для \(\tan(2\alpha)\): \[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = \frac{2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{-\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = -\frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7}. \]

Таким образом, у нас есть следующие результаты:

• \(\sin(2\alpha) = -\frac{24}{25}\)
• \(\cos(2\alpha) = \frac{7}{25}\)
• \(\tan(2\alpha) = -\frac{24}{7}\)