log1/4(log34*log23)

Давайте разберем выражение \(\log_{\frac{1}{4}}(\log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3})\) шаг за шагом.

1. Преобразование логарифмов: Чтобы упростить выражение, сначала рассмотрим, что такое \(\log_{\frac{1}{4}}(x)\). Помним, что \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\), где \(c\) - основание, которое мы можем выбрать по желанию. В данном случае удобно воспользоваться основанием 10 или основанием \(e\) (натуральный логарифм).

2. Логарифм с основанием \(\frac{1}{4}\): Можно переписать это как: \[ \log_{\frac{1}{4}}(x) = \frac{\log(x)}{\log(\frac{1}{4})} \] И помним, что \(\log(\frac{1}{4}) = \log(4^{-1}) = -\log(4)\).

3. Упрощение выражения: Таким образом, имеем: \[ \log_{\frac{1}{4}}(x) = -\frac{\log(x)}{\log(4)} \]

4. Теперь найдем значение \(\log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3}\):

   • Подставим \(x = \log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3}\) в выражение: \[ \log_{\frac{1}{4}}(\log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3}) = -\frac{\log(\log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3})}{\log(4)} \]

5. Вычисление отдельных логарифмов: Теперь нужно найти логарифмы \(\log_{3}{4}\) и \(\log_{2}{3}\). Например:

   • \(\log_{3}{4} = \frac{\log(4)}{\log(3)}\)
   • \(\log_{2}{3} = \frac{\log(3)}{\log(2)}\)

6. Умножим эти два логарифма: \[ \log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3} = \left(\frac{\log(4)}{\log(3)}\right) \cdot \left(\frac{\log(3)}{\log(2)}\right) = \frac{\log(4)}{\log(2)} \] Так как \(\log(4) = 2 \cdot \log(2)\), имеем: \[ \frac{\log(4)}{\log(2)} = \frac{2 \cdot \log(2)}{\log(2)} = 2 \]

7. Подстановка обратно: Теперь подставим это значение обратно в выражение: \[ \log_{\frac{1}{4}}(2) = -\frac{\log(2)}{\log(4)} = -\frac{\log(2)}{2 \cdot \log(2)} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \log_{\frac{1}{4}}(\log_{3}{4} \cdot \log_{2}{3}) = -\frac{1}{2} \]