3sin²π/2 - 4tg²π/4 - 4cos²π/6 + 3ctg²π/2

Для решения выражения \( 3\sin^2 \frac{\pi}{2} - 4\tan^2 \frac{\pi}{4} - 4\cos^2 \frac{\pi}{6} + 3\cot^2 \frac{\pi}{2} \), давайте разберем каждую из функций поочередно.

1. Синус и косинус:

   • \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \), следовательно, \( \sin^2 \frac{\pi}{2} = 1^2 = 1 \).
   • \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно, \( \cos^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \).

2. Тангенс и котангенс:

   • \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \), следовательно, \( \tan^2 \frac{\pi}{4} = 1^2 = 1 \).
   • \( \cot \frac{\pi}{2} = 0 \), следовательно, \( \cot^2 \frac{\pi}{2} = 0^2 = 0 \).

Теперь подставим все найденные значения в выражение:

\[ 3\sin^2 \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 1 = 3 \] \[ - 4\tan^2 \frac{\pi}{4} = - 4 \cdot 1 = - 4 \] \[ - 4\cos^2 \frac{\pi}{6} = - 4 \cdot \frac{3}{4} = - 3 \] \[ + 3\cot^2 \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 0 = 0 \]

Теперь объединим все части:

\[ 3 - 4 - 3 + 0 = -4 \]

Таким образом, конечный результат данного выражения:

\[ \boxed{-4} \]