tg a, если cos a = √10/10 и а э ( 3П/2; 2П)

Чтобы найти значение \( \tan a \) (тангенса угла \( a \)), если известно, что \( \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} \) и \( a \) принадлежит интервалу \( \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) \), можно воспользоваться основной тригонометрической тождественностью.

Мы знаем, что:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Для нахождения \( \tan a \) нам нужно найти \( \sin a \). Используя тригонометрическую единичную окружность и свойство, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), можем выразить \( \sin a \):

\[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \]

Подставим значение \( \cos a = \frac{\sqrt{10}}{10} \):

\[ \sin^2 a = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]

Теперь найдем \( \sin a \):

\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Поскольку угол \( a \) находится в третьем и четвертом кварталах (интервал \( \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) \)), то:

• В третьем квадранте \( \sin a < 0 \) и \( \cos a > 0 \).
• В четвертом квадранте \( \sin a < 0 \) и \( \cos a < 0 \).

Таким образом, в этом случае, поскольку угол находится в третьем квартале:

\[ \sin a = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Теперь можем найти \( \tan a \):

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -3 \]

Таким образом, \( \tan a = -3 \).