докажите торжество tg² a + cos² a + sin²a=1/1- sin² a

Давайте рассмотрим данное равенство и попробуем его доказать. Мы имеем:

\[ \tan^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a = \frac{1}{1 - \sin^2 a} \]

Начнём с левой части уравнения. Мы знаем, что \(\tan a\) можно выразить через синус и косинус:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

Поэтому:

\[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \]

Теперь подставим это в левую часть:

\[ \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \cos^2 a + \sin^2 a \]

Следующий шаг - упростим эту сумму. Сначала заметим, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):

\[ = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + 1 \]

Теперь выразим «1» с помощью \(\cos^2 a\):

\[ = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a} \]

Мы знаем, что \( \frac{1}{\cos^2 a} = \sec^2 a \).

Теперь перейдем к правой части уравнения:

\[ \frac{1}{1 - \sin^2 a} \]

По формуле тригонометрических функций, \(1 - \sin^2 a = \cos^2 a\). Таким образом, правую часть можно переписать как:

\[ = \frac{1}{\cos^2 a} \]

Итак, мы получили:

Левая часть: \( \sec^2 a \) Правая часть: \( \sec^2 a \)

Обе части равны, что и требовалось доказать:

\[ \tan^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a = \frac{1}{1 - \sin^2 a} \]

Таким образом, равенство доказано!