Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника с заданными параметрами, воспользуемся формулой для площади треугольника и свойствами равнобедренного треугольника.
Дано:
- Площадь ( S = 196\sqrt{3} )
- Угол напротив основания ( \angle A = 120^\circ )
Равнобедренный треугольник имеет два равных боковых угла. Обозначим длину боковой стороны как ( a ) и основание ( b ). Сначала определим высоту ( h ) треугольника, опущенную на основание ( b ).
Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times b \times h
]
Сначала нам нужно найти связанные с углом элементы. Угол ( A = 120^\circ ) можно разделить пополам, чтобы посчитать два равных угла при основании. Угол при основании будет равен:
[
\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ
]
Теперь воспользуемся синусом, чтобы выразить высоту через основание и боковую сторону:
[
h = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2}
]
Подставим это в формулу площади:
[
196\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times b \times (a \cdot \frac{1}{2})
]
[
196\sqrt{3} = \frac{1}{4} \times b \times a
]
[
b \times a = 784\sqrt{3}
]
Теперь выразим основание ( b ) через длину боковой стороны ( a ) и угол 120°. В равнобедренном треугольнике, основание можно найти через косинус:
[
b = 2a \cdot \cos(30^\circ) = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}
]
Теперь подставим это значение в уравнение ( b \times a = 784\sqrt{3} ):
[
(a\sqrt{3}) \times a = 784\sqrt{3}
]
[
a^2 \sqrt{3} = 784\sqrt{3}
]
Делим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
a^2 = 784
]
[
a = \sqrt{784} = 28
]
Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет ( 28 ) единиц.
