1. Решите неравенство (13 - 5x)(49 - x2)<=0 2. Решите неравенство (x2 - 36)(x2 - 19x + 78) >=0 3. Решите неравенство (x2 + x)(x2 + x + 6) <=16

Давайте решим каждое из неравенств шаг за шагом.

1. Решите неравенство \((13 - 5x)(49 - x^2) \leq 0\)

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя.

1. \(13 - 5x = 0\) \[ 5x = 13 \implies x = \frac{13}{5} = 2.6 \]

2. \(49 - x^2 = 0\) \[ x^2 = 49 \implies x = 7 \quad \text{или} \quad x = -7 \]

Шаг 2: Корни разбивают числовую ось на интервалы: \((-∞, -7)\), \((-7, 2.6)\), \((2.6, 7)\) и \((7, +∞)\).

Шаг 3: Проверим знак выражения на каждом интервале.

• Для интервала \((-∞, -7)\): выберем \(x = -8\): \((13 - 5(-8))(49 - (-8)^2) = (13 + 40)(49 - 64) < 0\)

• Для интервала \((-7, 2.6)\): выберем \(x = 0\): \((13 - 5(0))(49 - 0^2) = (13)(49) > 0\)

• Для интервала \((2.6, 7)\): выберем \(x = 5\): \((13 - 5(5))(49 - 5^2) = (13 - 25)(49 - 25) < 0\)

• Для интервала \((7, +∞)\): выберем \(x = 8\): \((13 - 5(8))(49 - 8^2) = (13 - 40)(49 - 64) > 0\)

Шаг 4: Подведем итоги. Мы ищем области, где произведение меньше или равно нуля: \[x \in (-∞, -7) \cup [2.6, 7]\]

2. Решите неравенство \((x^2 - 36)(x^2 - 19x + 78) \geq 0\)

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя.

1. \(x^2 - 36 = 0\) \[ x^2 = 36 \implies x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6 \]

2. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 19x + 78 = 0\) по формуле: \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 78 = 361 - 312 = 49 \implies x = \frac{19 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = 13, \quad x_2 = 6 \]

Шаг 2: Теперь у нас есть корни: -6, 6 и 13, которые разбивают числовую ось на 4 интервала: \((-∞, -6)\), \((-6, 6)\), \((6, 13)\) и \((13, +∞)\).

Шаг 3: Проверим знак выражения на каждом интервале.

• Для интервала \((-∞, -6)\): выберем \(x = -7\): \(((-7)^2 - 36)((-7)^2 - 19(-7) + 78) = (49 - 36)(49 + 133 + 78) > 0\)

• Для интервала \((-6, 6)\): выберем \(x = 0\): \((0^2 - 36)(0^2 - 19(0) + 78) = (-36)(78) < 0\)

• Для интервала \((6, 13)\): выберем \(x = 10\): \((10^2 - 36)(10^2 - 19(10) + 78) = (64)(10) > 0\)

• Для интервала \((13, +∞)\): выберем \(x = 14\): \((14^2 - 36)(14^2 - 19(14) + 78) > 0\)

Шаг 4: Подведем итоги. Мы ищем области, где произведение больше или равно нулю: \[x \in (-∞, -6] \cup [6, 13]\]

3. Решите неравенство \((x^2 + x)(x^2 + x + 6) \leq 16\)

Шаг 1: Запишем 16 в виде выражения, чтобы упростить неравенство: \[ (x^2 + x)(x^2 + x + 6) - 16 \leq 0 \]

Обозначим \(y = x^2 + x\). Тогда у нас получится: \[ y(y + 6) - 16 \leq 0 \implies y^2 + 6y - 16 \leq 0 \]

Шаг 2: Найдем корни: \[D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100\] \[ y_{1, 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \] \(y_1 = 2, \quad y_2 = -8\)

Шаг 3: Теперь у нас есть корни: -8 и 2, которые разбивают числовую ось на 3 интервала: \((-∞, -8)\), \((-8, 2)\) и \((2, +∞)\).

Шаг 4: Проверим знак неравенства на этих интервалах.

• Для интервала \((-∞, -8)\): выберем \(y = -9\): отрицательное.
• Для интервала \((-8, 2)\): выберем \(y = 0\): положительное.
• Для интервала \((2, +∞)\): выберем \(y = 3\): положительное.

Шаг 5: Мы ищем области, где неравенство верно: \[y \in [-8, 2]\]

Теперь вернемся к \(y = x^2 + x\):

1. \(-8 \leq x^2 + x \leq 2\)

Решение:

1. \(x^2 + x + 8 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(D < 0\).
2. Для второго неравенства \(x^2 + x - 2 \leq 0\): \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \leq 0 \implies x \in [-2, 1] \]

Итак, ответы на неравенства:

1. \(x \in (-∞, -7) \cup [2.6, 7]\)
2. \(x \in (-∞, -6] \cup [6, 13]\)
3. \(x \in [-2, 1]\)

Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!