Упрости выражение 2/x-4 - x+8/x^2-16 - 1/x

Давай упростим выражение \( \frac{2}{x-4} - x + \frac{8}{x^2-16} - \frac{1}{x} \).

Первым делом обратим внимание на то, что \( x^2 - 16 \) можно представить в виде разности квадратов:

\[ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \]

Теперь можем переписать выражение с учетом этого:

\[ \frac{2}{x-4} - x + \frac{8}{(x-4)(x+4)} - \frac{1}{x} \]

Теперь давай найдем общий знаменатель для всех дробей. Общим знаменателем будет \( (x-4)(x+4)x \).

Перепишем каждую дробь с новым знаменателем:

1. Для первой дроби:

\[ \frac{2}{x-4} = \frac{2x(x+4)}{(x-4)(x+4)x} \]

2. Для второй дроби \( -x \) мы можем представить как дробь:

\[ -x = \frac{-x(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)x} \]

3. Для третьей дроби:

\[ \frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{8x}{(x-4)(x+4)x} \]

4. Для четвертой дроби:

\[ -\frac{1}{x} = \frac{-(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)x} \]

Теперь объединим все дроби:

\[ \frac{2x(x+4) - x(x-4)(x+4) + 8x - (x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)x} \]

Теперь упростим числитель. Разберём каждое слагаемое:

1. \( 2x(x+4) = 2x^2 + 8x \)
2. \( -x(x-4)(x+4) = -x(x^2 - 16) = -x^3 + 16x \)
3. \( 8x \) остаётся как есть.
4. \( -(x-4)(x+4) = -(x^2 - 16) = -x^2 + 16 \)

Теперь сложим все слагаемые в числителе:

\[ 2x^2 + 8x - x^3 + 16x + 8 - x^2 + 16 \]

Соберем подобные слагаемые:

\[ -x^3 + (2 - 1)x^2 + (8 + 16 + 8)x + 16 = -x^3 + x^2 + 32x + 16 \]

Теперь можем записать окончательное упрощенное выражение:

\[ \frac{-x^3 + x^2 + 32x + 16}{(x-4)(x+4)x} \]

Это и есть упрощённая форма данного выражения. Если есть ещё вопросы, не стесняйся задавать!