Даны вершины треугольника : А(-1;6), B (-5;-2), C(1;0). Доказать что треугольник-прямоугольный. Найти центр и радиус описанной около него окружности.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо проверить, выполняется ли теорема Пифагора для его сторон. Сначала найдем длины всех сторон треугольника, используя формулу для расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

1. Находим длины сторон:

   • Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{((-5) - (-1))^2 + ((-2) - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

   • Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

   • Длина стороны CA: \[ CA = \sqrt{((-1) - 1)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

2. Проверка на прямоугольный треугольник:

По теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным, если квадрат длины самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Заметим, что у нас есть две стороны BC и CA, которые имеют равные длины:

\( AB^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80 \)

\( BC^2 + CA^2 = (2\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{10})^2 = 40 + 40 = 80 \)

Таким образом, \( AB^2 = BC^2 + CA^2 \), значит, треугольник ABC является прямоугольным.

3. Находим центр и радиус описанной окружности:

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Гипотенузой в нашем случае является сторона AB.

• Найдим координаты середины отрезка AB: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{-1 + (-5)}{2}, \frac{6 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{-6}{2}, \frac{4}{2} \right) = (-3, 2) \]

• Теперь найдем радиус окружности, который равен половине длины гипотенузы (стороны AB): \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} \]

Итак, мы доказали, что треугольник ABC — прямоугольный, центр описанной окружности находится в точке \( M(-3, 2) \), а радиус равен \( 2\sqrt{5} \).