Х^3+5х^2-4х-20=0
Чтобы решить уравнение \(x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0\), начнём с поиска корней этого кубического уравнения. Сначала можно попробовать подставить некоторые значения \(x\), чтобы найти хотя бы один корень.
Подставим \(x = 2\): \[ 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 20 = 8 + 20 - 8 - 20 = 0. \] Таким образом, \(x = 2\) является корнем уравнения.
Теперь, когда мы нашли один корень, можно разделить исходное уравнение на \((x - 2)\) с помощью деления мног项ников или использовать схему Горнера. Результат будет квадратичным уравнением.
Разделим \(x^3 + 5x^2 - 4x - 20\) на \((x - 2)\):
\(x^3 : x = x^2\)
Умножаем \(x^2\) на \((x - 2)\) и вычитаем: \[ (x^3 - 2x^2) \rightarrow (5x^2 + 2x^2) = 7x^2. \]
Следующий шаг: \(7x^2 : x = 7x\), \[ (7x^2 - 14x) \rightarrow (-4x + 14x) = 10x. \]
И снова: \(10x : x = 10\) \[ (10x - 20) \rightarrow (-20 + 20) = 0. \]
Теперь мы получили: \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x - 2)(x^2 + 7x + 10). \]
Теперь решим квадратное уравнение \(x^2 + 7x + 10 = 0\) с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = 10\).
Найдём дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9. \]
Теперь подставим в формулу: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 3}{2}. \] Это даёт два корня:
- \(x = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\),
- \(x = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).
Таким образом, у нашего уравнения три корня: \[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = -5. \]
Если у вас есть вопросы по этому решению или как решить другие уравнения, не стесняйтесь спрашивать!
