Упростите выражение 1) 1/ cos²t -1 2) 1- 1/ sin ²t 3) 1- cos² t/1-sin² t 4) (sin t + cos t) ²/ 1+2 sin t cos t

Давайте упростим каждое из предложенных выражений шаг за шагом.

1. \( \frac{1}{\cos^2 t} - 1 \)

Для упрощения воспользуемся идентичностью \( \frac{1}{\cos^2 t} = \sec^2 t \):

\[ \sec^2 t - 1 = \tan^2 t \]

Итак, упрощенное выражение: \( \tan^2 t \).

2. \( 1 - \frac{1}{\sin^2 t} \)

В этом случае можно записать первое слагаемое как \( \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} \):

\[ 1 - \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t - 1}{\sin^2 t} \]

Используя идентичность \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), мы получаем \( \sin^2 t - 1 = -\cos^2 t \):

\[ \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\cot^2 t \]

Таким образом, упрощенное выражение: \( -\cot^2 t \).

3. \( \frac{1 - \cos^2 t}{1 - \sin^2 t} \)

Используем идентичности: \( 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \) и \( 1 - \sin^2 t = \cos^2 t \):

\[ \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \tan^2 t \]

Упрощенное выражение: \( \tan^2 t \).

4. \( \frac{(sin t + cos t)^2}{1 + 2sin t cos t} \)

Раскроем квадрат в числителе:

\[ (sin t + cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t \]

Так как \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), у нас получается:

\[ 1 + 2\sin t \cos t \]

Тогда выражение становится:

\[ \frac{1 + 2\sin t \cos t}{1 + 2\sin t \cos t} = 1 \]

Итак, упрощенное выражение: \( 1 \).

Таким образом, окончательные результаты:

1. \( \tan^2 t \)
2. \( -\cot^2 t \)
3. \( \tan^2 t \)
4. \( 1 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно еще что-то упростить, не стесняйтесь спрашивать!