докажите тождество: б) (2 + sin a) (2- sin a) + ( 2+ cos a) (2- cos a) =7
Давайте докажем тождество:
\[ (2 + \sin a)(2 - \sin a) + (2 + \cos a)(2 - \cos a) = 7. \]
Для начала, воспользуемся формулой разности квадратов. Она гласит, что \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \). Применим это к каждому из множителей:
Для первого произведения: \[ (2 + \sin a)(2 - \sin a) = 2^2 - (\sin a)^2 = 4 - \sin^2 a. \]
Для второго произведения: \[ (2 + \cos a)(2 - \cos a) = 2^2 - (\cos a)^2 = 4 - \cos^2 a. \]
Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество: \[ 4 - \sin^2 a + 4 - \cos^2 a. \]
Упрощаем: \[ 8 - (\sin^2 a + \cos^2 a). \]
Согласно основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. \]
Подставляя это значение, получаем: \[ 8 - 1 = 7. \]
Таким образом, мы доказали, что: \[ (2 + \sin a)(2 - \sin a) + (2 + \cos a)(2 - \cos a) = 7. \]
Тождество верно!
