Найти объем тетраэдра ABCD А(-1;1;0), B(2;-2;1), C(3;1;-1), D(1;0;-2)

Чтобы найти объем тетраэдра ABCD с вершинами A(-1; 1; 0), B(2; -2; 1), C(3; 1; -1) и D(1; 0; -2), можно использовать формулу объема тетраэдра в координатной системе.

Формула для объема тетраэдра с вершинами A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) и D(x4, y4, z4) выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{6} | \mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}) | \]

где \(\mathbf{AB}\), \(\mathbf{AC}\), \(\mathbf{AD}\) — это векторы, соединяющие вершину A с вершинами B, C и D соответственно.

Сначала найдем векторы:

• \(\mathbf{AB} = B - A = (2 - (-1), -2 - 1, 1 - 0) = (3, -3, 1)\)
• \(\mathbf{AC} = C - A = (3 - (-1), 1 - 1, -1 - 0) = (4, 0, -1)\)
• \(\mathbf{AD} = D - A = (1 - (-1), 0 - 1, -2 - 0) = (2, -1, -2)\)

Теперь найдем векторное произведение \(\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}\):

\[ \mathbf{AC} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} \]

Решая детерминант, получаем:

\[ \mathbf{AC} \times \mathbf{AD} = \mathbf{i}(0 \cdot -2 - (-1) \cdot -1) - \mathbf{j}(4 \cdot -2 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(4 \cdot -1 - 0 \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(-8 + 2) + \mathbf{k}(-4) \] \[ = -\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \]

Таким образом, \(\mathbf{AC} \times \mathbf{AD} = (-1, -6, -4)\).

Теперь вычисляем скалярное произведение \(\mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD})\):

\[ \mathbf{AB} \cdot (\mathbf{AC} \times \mathbf{AD}) = (3, -3, 1) \cdot (-1, -6, -4) = 3 \cdot -1 + (-3) \cdot -6 + 1 \cdot -4 \] \[ = -3 + 18 - 4 = 11 \]

Теперь подставим это значение в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{6} |11| = \frac{11}{6} \]

Таким образом, объем тетраэдра ABCD равен \( \frac{11}{6} \) кубических единиц.