Найти векторное произведения a=2m-3n, b =m+4

Чтобы найти векторное произведение векторов \( \mathbf{a} = 2\mathbf{m} - 3\mathbf{n} \) и \( \mathbf{b} = \mathbf{m} + 4 \), мы используем формулу для векторного произведения:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

Где \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) — базисные векторы в трехмерном пространстве, а \( (a_1, a_2, a_3) \) и \( (b_1, b_2, b_3) \) — координаты векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Предположим, что векторы \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) находятся в плоскости XY, и можем работать в трехмерном пространстве, добавив нулевую координату \( z \):

• Для вектора \( \mathbf{a} = 2\mathbf{m} - 3\mathbf{n} \):

  • \( a_1 = 2, a_2 = -3, a_3 = 0 \)

• Для вектора \( \mathbf{b} = \mathbf{m} + 4 \):

  • Предположим, что \( b_1 = 1, b_2 = 4, b_3 = 0 \)

Теперь используем детерминант для нахождения \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычислим этот детерминант:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \]

Вычисляем каждый из этих детерминантов:

1. Для \( \mathbf{i} \): \[ \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = (-3)(0) - (0)(4) = 0 \]

2. Для \( \mathbf{j} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (2)(0) - (0)(1) = 0 \]

3. Для \( \mathbf{k} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (-3)(1) = 8 + 3 = 11 \]

Теперь подставляем все результаты обратно:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 11\mathbf{k} = 11\mathbf{k} \]

Таким образом, векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = 11\mathbf{k} \). Это вектор, направленный вдоль оси \( z \) с длиной 11.