На сторонах MN и NK треугольника MNK отмечены точки Q и S так,что MQ:QN = 5:6 и KS:SN = 5:6. Чему равен отрезок QS, если МК = 33 мм
Давайте разберёмся с задачей о треугольнике MNK и отрезке QS.
- У нас есть треугольник MNK, в котором на сторонах MN и NK отмечены точки Q и S соответственно. Дана пропорция MQ:QN = 5:6 и KS:SN = 5:6.
- Обозначим длину стороны MK как \( a = 33 \, \text{мм} \).
Сначала найдем отношение длины MQ и QN. Поскольку MQ:QN=5:6, можно обозначить длины отрезков как \( MQ = 5x \) и \( QN = 6x \). Полная длина отрезка MN будет равна:
\[ MN = MQ + QN = 5x + 6x = 11x. \]
Аналогично для стороны NK, где KS:SN = 5:6. Обозначим длины отрезков как \( KS = 5y \) и \( SN = 6y \). Полная длина отрезка NK будет равна:
\[ NK = KS + SN = 5y + 6y = 11y. \]
Теперь давайте использовать подобие треугольников. Треугольники MKS и QSN подобны, поскольку они имеют равные углы, то есть ∠MKS = ∠QSN и общую наклонную сторону MK.
Согласно свойству подобия:
\[ \frac{QS}{MK} = \frac{QN}{MN} = \frac{SN}{NK}. \]
Теперь выразим все через длины отрезков:
- Мы знаем, что точки Q и S разбивают отрезки в одном и том же отношении, поэтому получится:
\[ QS = \frac{MQ}{MN} \cdot MK. \]
Сначала найдем длину MN, используя отношение:
Если \( MN = 11x \), то \( QN = 6x \), и из пропорции MQ:QN = 5:6, можно выразить x через 33 мм:
\[ MK = MN \cdot \frac{MQ}{MQ + QN} = 33 \cdot \frac{5}{11} = 15 \, \text{мм} \quad (\text{длина MQ}), \] \[ QN = 33 - 15 = 18 \, \text{мм}. \]
Теперь можем найти длину отрезка QS как:
\[ QS = KS + SN = 5y + 6y = 11y, \] где y - это аналогичный коэффициент для отрезка.
Теперь, чтобы найти y, используем что величины отрезка аналогичны, что тоже относится к 5:6:
Мы видим, что: \[ \frac{QS}{MK} = \frac{MQ}{MN} \]
Таким образом, по общему правилу,
\[ QS = \frac{11}{11} \cdot 5 = 15 + 18 \quad \text{и } QK = \frac{SN}{NK}. \]
Итак, выводим:
\[ QS = 15 + 18 = 33 \cdot \frac{5}{11} + 33 \cdot \frac{6}{11} = 27 \, \text{мм}. \]
Таким образом, отрезок \( QS \) равен \( 27 \, \text{мм} \).
