Докажите что при любом натуральном n значение выражения n(n+13)-(n+3)(n-10) делиться на 10

Чтобы доказать, что выражение \( n(n+13) - (n+3)(n-10) \) делится на 10 для любого натурального \( n \), начнем с упрощения самого выражения.

Рассмотрим оба слагаемых:

1. \( n(n+13) = n^2 + 13n \)
2. \( (n+3)(n-10) = n^2 - 10n + 3n - 30 = n^2 - 7n - 30 \)

Теперь вычислим разность:

\[ n(n+13) - (n+3)(n-10) = (n^2 + 13n) - (n^2 - 7n - 30) \]

Упростим:

\[ = n^2 + 13n - n^2 + 7n + 30 = 20n + 30 \]

Теперь факторизуем это выражение:

\[ 20n + 30 = 10(2n + 3) \]

Теперь мы видим, что выражение \( 20n + 30 \) делится на 10, так как мы можем его записать в виде 10, умноженного на \( (2n + 3) \).

Таким образом, для любого натурального \( n \) значение выражения \( n(n+13) - (n+3)(n-10) \) делится на 10.

Это завершает наше доказательство.