Вычислите не применяя таблицу значения синуса и косинуса дуг п/12

Для вычисления синуса и косинуса угла \( \frac{\pi}{12} \) без использования таблицы значений, можно воспользоваться формулами суммы углов и некоторыми известными значениями. Угол \( \frac{\pi}{12} \) можно представить как разность углов \( \frac{\pi}{3} \) и \( \frac{\pi}{4} \), т.е.:

\[ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \]

Теперь применим формулы:

\[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \]

Где \( a = \frac{\pi}{3} \) и \( b = \frac{\pi}{4} \).

Зная значения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь мы можем подставить эти значения в наши формулы.

Для синуса:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Подставим значения:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощаем:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Теперь найдем косинус:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Подставим значения:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упрощаем:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \]

Таким образом, мы получили:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \]