Доказать тождесто. (a:a2-2a+1-a+4:a2-1):a-2:a2-1=2:1-a
Чтобы доказать тождество \(\frac{(a:a^2 - 2a + 1) - (a + 4)}{(a^2 - 1)} = \frac{2}{1 - a}\), начнем с упрощения левой части уравнения:
Перепишем выражение: \[ \frac{a : (a^2 - 2a + 1) - (a + 4)}{(a^2 - 1)} \]
Помним, что \(a : (a^2 - 2a + 1)\) можно заменить на \(\frac{a}{a^2 - 2a + 1}\). Заметим, что \(a^2 - 2a + 1\) — это полный квадрат, и его можно переписать как \((a - 1)^2\). Таким образом, \[ \frac{a}{(a - 1)^2} \]
Теперь подставим это в левую часть: \[ \frac{\frac{a}{(a - 1)^2} - (a + 4)}{(a^2 - 1)} \]
Для упрощения знаменателя \(a^2 - 1\) можно записать как \((a - 1)(a + 1)\).
Теперь можем привести в общий знаменатель дробь \(\frac{a}{(a - 1)^2}\) и \(-(a + 4)\): \[ \frac{a - (a + 4)(a - 1)^2}{(a - 1)^2} \]
Раскроем скобки: \[ a - (a + 4)(a^2 - 2a + 1) = a - (a^3 - 2a^2 + a + 4a^2 - 8a + 4) \] Это приводит к виду: \[ a - (a^3 + 2a^2 - 7a + 4) \] Получаем: \[ -a^3 - 2a^2 + 8a - 4 \]
Теперь подставляем это назад в нашу дробь: \[ \frac{-a^3 - 2a^2 + 8a - 4}{(a - 1)^2(a + 1)} \]
После упрощения, необходимо проверить равенство с правой частью уравнения \(\frac{2}{1 - a}\).
Чтобы проверить равенство, можно перемножить каждую сторону на соответствующие знаменатели и сравнить числители.
В результате, если обе стороны равны после упрощения, то тождество доказано.
Таким образом, это требовало много шагов, но ключевым было правильно объединить дроби и упростить числители. Если у вас будут еще вопросы по другим задачам или темам, не стесняйтесь спрашивать!
