Выполнить указанные действия (1+корень из 3 i) ^3

Чтобы вычислить выражение \((1 + \sqrt{3}i)^3\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона или преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Давайте воспользуемся тригонометрическим методом.

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа \(1 + \sqrt{3}i\).

1. Модуль: \[ r = |1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]

2. Аргумент: \[ \theta = \text{arctan}\left(\frac{\text{Imaginary part}}{\text{Real part}}\right) = \text{arctan}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \]

Теперь можем записать \(1 + \sqrt{3}i\) в тригонометрической форме: \[ 1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \]

Теперь мы можем возвести это в куб: \[ (1 + \sqrt{3}i)^3 = \left(2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)\right)^3 = 2^3\left(\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) \]

Выражение упрощается до: \[ = 8\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) \] \[ = 8\left(-1 + i \cdot 0\right) \] \[ = -8 \]

Таким образом, результат вычисления \((1 + \sqrt{3}i)^3\) равен \(-8\).