2.5. Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого шаром радиуса R, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда $\rho$ для точек внутри и вне шара. Построить график зависимости $E(r)$, где $0 \leq r \leq 2R$."

Чтобы вычислить напряженность электрического поля \( E(r) \), создаваемого равномерно заряженным шаром радиуса \( R \) с объемной плотностью заряда \( \rho \), необходимо рассмотреть два случая: для точек внутри шара (где \( r < R \)) и для точек вне шара (где \( r \geq R \)).

1. Внутри шара (\( r < R \))

Для точек внутри шара можно использовать закон Гаусса. Мы строим мысленный гауссовский шар с радиусом \( r \).

• Площадь поверхности этого шара: \[ S = 4\pi r^2 \]

• Объем заряженной части шара до радиуса \( r \): \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

• Общее заряды внутри этого радиуса: \[ Q_{\text{внутри}} = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \]

По закону Гаусса, поток электрического поля \( E \) через поверхность равен заряду, заключенному внутри, делённому на электрическую постоянную \( \varepsilon_0 \): \[ \Phi_E = E \cdot S = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\varepsilon_0} \]

Подставляем выражения: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0} \]

Сокращая \( 4\pi \) и решая уравнение для \( E \): \[ E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0} \]

2. Вне шара (\( r \geq R \))

Для точек вне шара рассматриваем полный заряд всего шара, который равен: \[ Q_{\text{всего}} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]

Теперь, по закону Гаусса, поток электрического поля через поверхностный шар радиуса \( r \): \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{всего}}}{\varepsilon_0} \]

Подставляем заряд: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\varepsilon_0} \]

Сокращая \( 4\pi \) и решая для \( E \): \[ E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r^2} \]

График зависимости \( E(r) \)

Теперь можно построить график зависимости напряженности электрического поля \( E(r) \) в зависимости от радиуса \( r \):

• Для \( 0 \leq r < R \): \[ E(r) = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0} \quad \text{(линейно возрастает от 0 до $E(R)$)} \]

• Для \( r \geq R \): \[ E(r) = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r^2} \quad \text{(обратная зависимость, убывает как $1/r^2$)} \]

График будет выглядеть следующим образом:

• Внутри шара: прямая линия, стартующая от 0 и достигающая максимума к \( r = R \).
• Снаружи шара: кривая, спадающая и стремящаяся к нулю по мере увеличения \( r \).

Надеюсь, это помогло в решении вашей задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.