Вычислить: 1) cos(pi/3 + alpha) если sin alpha = 1/(sqrt(3)) и 0 < alpha < pi/2 2) cos(alpha - pi/4) . если cos alpha = - 1/3 pi/2 < alpha < pi

Давайте решим обе задачи по очереди.

1) Вычисление cos(π/3 + α), если sin(α) = 1/(√3) и 0 < α < π/2.

Для начала найдем cos(α). Мы знаем, что:

\[ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \]

Подставим значение sin(α):

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + cos^2(α) = 1 \]

\[ \frac{1}{3} + cos^2(α) = 1 \]

\[ cos^2(α) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Следовательно:

\[ cos(α) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

(поскольку α находится в первом квадранте, cos(α) будет положительным).

Теперь используем формулу для вычисления cos(π/3 + α):

\[ cos(π/3 + α) = cos(π/3) cos(α) - sin(π/3) sin(α) \]

Значения trigonometricheskikh funktsiy:

\[ cos(π/3) = \frac{1}{2}, \quad sin(π/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим найденные значения:

\[ cos(π/3 + α) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Упростим это:

\[ cos(π/3 + α) = \frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{1}{2} \]

Чтобы привести к общему знаменателю, запишем:

\[ - \frac{1}{2} = -\frac{3}{6} \]

Таким образом:

\[ cos(π/3 + α) = \frac{\sqrt{6} - 3}{6} \]

2) Вычисление cos(α - π/4), если cos(α) = -1/3 и π/2 < α < π.

Для начала найдем sin(α). Воспользуемся тем же уравнением:

\[ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 \]

Подставим значение cos(α):

\[ sin^2(α) + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \]

\[ sin^2(α) + \frac{1}{9} = 1 \]

\[ sin^2(α) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Поскольку α находится во втором квадранте, sin(α) будет положительным:

\[ sin(α) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь используем формулу для вычисления cos(α - π/4):

\[ cos(α - π/4) = cos(α)cos(π/4) + sin(α)sin(π/4) \]

Значения синусов и косинусов 45 градусов:

\[ cos(π/4) = \sin(π/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим найденные значения:

\[ cos(α - π/4) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим каждую часть:

\[ cos(α - π/4) = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{3} \]

Чтобы объединить, приведем к общему знаменателю (6):

\[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \]

Таким образом, итог:

\[ cos(α - π/4) = \frac{4 - \sqrt{2}}{6} \]

Итак, у нас есть ответы:

1. \( cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\sqrt{6} - 3}{6} \)

2. \( cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{4 - \sqrt{2}}{6} \)