Заданы законы изменения координат движущейся материаль ной точки. Найти модули полного ускорения точки, тангенциальной и нор мальной составляющих ускорения в момент времени I_{1}…
Заданы законы изменения координат движущейся материаль ной точки. Найти модули полного ускорения точки, тангенциальной и нор мальной составляющих ускорения в момент времени I_{1} а также радиус кри визны траектории в этот момент времени. Закон движения плоль оси Х, м: x = 34 - t + 2r ^ 3 Закон движения вдоль оси У м: y = 5t - t ^ 2 t 2 ^ n: 0,8 реши задачу с дано, формула, решения, ответ. не пиши ничего лишнего
Дано:
- Закон движения по оси X: \( x(t) = 34 - t + 2t^3 \)
- Закон движения по оси Y: \( y(t) = 5t - t^2 \)
- Время: \( t = 2 \)
- Найти координаты в момент времени \( t = 2 \):
\[ x(2) = 34 - 2 + 2(2^3) = 34 - 2 + 16 = 48 \, \text{м} \]
\[ y(2) = 5(2) - (2^2) = 10 - 4 = 6 \, \text{м} \]
Координаты точки в момент времени \( t = 2 \): \( (48, 6) \).
- Найти скорости по осям:
Для этого найдём производные по времени:
\[ v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(34 - t + 2t^3) = -1 + 6t^2 \]
\[ v_y(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(5t - t^2) = 5 - 2t \]
Подставим \( t = 2 \):
\[ v_x(2) = -1 + 6(2^2) = -1 + 24 = 23 \, \text{м/с} \]
\[ v_y(2) = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1 \, \text{м/с} \]
- Найти ускорения по осям:
Вторые производные:
\[ a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(-1 + 6t^2) = 12t \]
\[ a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 2t) = -2 \]
Подставим \( t = 2 \):
\[ a_x(2) = 12(2) = 24 \, \text{м/с}^2 \]
\[ a_y(2) = -2 \, \text{м/с}^2 \]
- Найти модуль полного ускорения:
Модуль полного ускорения \( a \):
\[ a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(24)^2 + (-2)^2} = \sqrt{576 + 4} = \sqrt{580} \approx 24.08 \, \text{м/с}^2 \]
- Найти тангенциальную и нормальную составляющие ускорения:
Тангенциальная составляющая \( a_t \):
\[ a_t = \frac{d}{dt} \left( \frac{v}{dt} \right) = \frac{v_x v_x' + v_y v_y'}{v} \] где \( v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \):
\[ v = \sqrt{(23)^2 + (1)^2} = \sqrt{529 + 1} = \sqrt{530} \]
Теперь находим \( a_t \):
Считаем:
\[ v_x' = 24, \quad v_y' = -2 \]
Тангенциальная составляющая:
\[ a_t = \frac{(23)(24) + (1)(-2)}{\sqrt{530}} = \frac{552 - 2}{\sqrt{530}} \approx \frac{550}{22.91} \approx 24.0 \, \text{м/с}^2 \]
Нормальная составляющая \( a_n \):
\[ a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2} \approx \sqrt{580 - 576} \approx \sqrt{4} = 2 \, \text{м/с}^2 \]
- Найти радиус кривизны траектории:
Радиус кривизны \( R \):
\[ R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{530}{2} = 265 \, \text{м} \]
Ответ:
- Модуль полного ускорения: \( \approx 24.08 \, \text{м/с}^2 \)
- Тангенциальная составляющая ускорения: \( \approx 24.0 \, \text{м/с}^2 \)
- Нормальная составляющая ускорения: \( 2 \, \text{м/с}^2 \)
- Радиус кривизны: \( 265 \, \text{м} \)
