Тело бросили под углом α к горизонту. Известно, что максимальная высота подъема в 4 раза меньше дальности полета. Чему равен угол α? Ответ запишите в градусах, округлив до целых.
Рассмотрим ситуацию, когда тело бросается под углом α к горизонту. Параметры, о которых идет речь, это максимальная высота подъема тела (H) и дальность полета (R). По условию задачи известно, что максимальная высота подъема в 4 раза меньше дальности полета, то есть:
\[ H = \frac{R}{4} \]
Для тела, брошенного под углом α, формулы для максимальной высоты и дальности полета выглядят следующим образом:
Максимальная высота: \[ H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} \]
Дальность полета: \[ R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]
где \( v_0 \) — начальная скорость, а \( g \) — ускорение свободного падения.
Теперь подставим H и R в условие:
\[ \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{1}{4} \cdot \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]
Сократим \( v_0^2 \) и \( g \) (при условии, что они не равны нулю):
\[ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot \sin(2\alpha) \]
Помним, что \( \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \). Подставляем это в уравнение:
\[ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]
Упрощаем:
\[ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]
Теперь разделим обе стороны уравнения на \( \sin(\alpha) \) (при условии, что \( \sin(\alpha) \neq 0 \)):
\[ \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cos(\alpha) \]
Используя соотношение \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), мы можем записать:
\[ \tan(\alpha) = \frac{1}{2} \]
Теперь определим угол α:
\[ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \]
Используя калькулятор или таблицы, находим:
\[ \alpha \approx 26.57^\circ \]
Округляя до целых:
\[ \alpha \approx 27^\circ \]
Таким образом, угол α, под которым тело было брошено, равен 27 градусам.
