x²+x-12<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + x - 12 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \). Мы можем решить это уравнение с помощью формулы квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \). Подставим значения в формулу:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]
Это дает нам два корня:
- \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Итак, корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -4 \).
Теперь мы можем сделать анализ знаков функции \( x^2 + x - 12 \) на интервалах, определяемых корнями: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 3) \) и \( (3, +\infty) \).
На интервале \( (-\infty, -4) \): возьмем тестовую точку, например, \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
На интервале \( (-4, 3) \): возьмем тестовую точку, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 0 - 12 = -12 \quad (\text{отрицательно}) \]
На интервале \( (3, +\infty) \): возьмем тестовую точку, например, \( x = 4 \): \[ 4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, функция \( x^2 + x - 12 \) меньше нуля на интервале \( (-4, 3) \).
В итоге, решение неравенства \( x^2 + x - 12 < 0 \) записывается как:
\[ x \in (-4, 3) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
