Даны три последовательные вершины параллелограмма Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; А(1;-2) В(-2;3) С(5;7)
Для нахождения уравнения стороны AD параллелограмма, давайте сначала найдем координаты точки D. Из условия знаем, что A, B и C - три последовательные вершины параллелограмма, и D - последняя вершина.
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, можно использовать свойства векторов. Векторы AB и CD равны по направлению и длине:
Сначала найдем вектор AB: \[ AB = B - A = (-2 - 1, 3 - (-2)) = (-3, 5). \]
Теперь найдем вектор AC: \[ AC = C - A = (5 - 1, 7 - (-2)) = (4, 9). \]
В параллелограмме диагонали пересекаются в середине, поэтому у нас есть следующее равенство: \[ A + C = B + D. \] Из этого уравнения выразим D: \[ D = A + C - B. \] Теперь подставим координаты: \[ D = (1, -2) + (5, 7) - (-2, 3) = (1 + 5 + 2, -2 + 7 - 3) = (8, 2). \]
Теперь, зная координаты точки D(8, 2), мы можем найти уравнение прямой AD.
Найдем наклон (угловой коэффициент) прямой AD: \[ k = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{2 - (-2)}{8 - 1} = \frac{4}{7}. \]
Используем формулу уравнения прямой: \[ y - y_1 = k(x - x_1), \] где \((x_1, y_1)\) - координаты точки A(1, -2).
Подставим значения: \[ y - (-2) = \frac{4}{7}(x - 1). \]
После упрощения мы получим: \[ y + 2 = \frac{4}{7}x - \frac{4}{7}. \] или \[ y = \frac{4}{7}x - \frac{4}{7} - 2. \] Приведем к общему виду: \[ y = \frac{4}{7}x - \frac{4}{7} - \frac{14}{7}, \] то есть \[ y = \frac{4}{7}x - \frac{18}{7}. \]
Итак, уравнение стороны AD параллелограмма: \[ y = \frac{4}{7}x - \frac{18}{7}. \]
