данны три вектора а=(1,-1,3), b=(-2,2,1), c=(3,-2,5). вычислить (a,b,c)

Чтобы вычислить смешанное произведение трёх векторов \( a \), \( b \) и \( c \), обозначаемое как \( (a, b, c) \), необходимо использовать формулу, которая включает определение объёма параллелепипеда, образованного этими векторами.

Смешанное произведение векторов \( a \), \( b \) и \( c \) можно выразить через детерминант матрицы, составленной из координат этих векторов:

\[ (a, b, c) = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ -2 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим этот детерминант. Для этого используем формулу для 3x3 матрицы:

\[ \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \]

В нашем случае:

\[ = 1 \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot (-2)) - (-1) \cdot (-2 \cdot 5 - 1 \cdot 3) + 3 \cdot (-2 \cdot (-2) - 2 \cdot 3) \]

Теперь вычислим поэтапно:

1. \( 2 \cdot 5 = 10 \)
2. \( 1 \cdot (-2) = -2 \)
3. \( 10 - (-2) = 10 + 2 = 12 \)

Теперь второй член:

1. \( -2 \cdot 5 = -10 \)
2. \( -10 - 3 = -13 \)
3. \( -(-1) \cdot -13 = -13 \)

Третий член:

1. \( -2 \cdot (-2) = 4 \)
2. \( 2 \cdot 3 = 6 \)
3. \( 4 - 6 = -2 \)
4. \( 3 \cdot (-2) = -6 \)

Теперь всё вместе:

\[ (1, -1, 3) \cdot (-2, 2, 1) \cdot (3, -2, 5) = 12 - 13 - 6 \]

Это равно:

\[ 12 - 13 - 6 = -7 \]

Таким образом, смешанное произведение векторов \( a \), \( b \) и \( c \) равно \( -7 \).