из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. сколько туристов в группе

Давайте разберемся с данной задачей по комбинаторике.

Пусть \( n \) – количество туристов в группе.

Мы можем выбрать 4 дежурных из \( n \) туристов, используя формулу комбинаторики для комбинаций:

\[ C(n, 4) = \frac{n!}{4!(n-4)!} \]

Аналогично, мы можем выбрать 2 дежурных из \( n \) туристов:

\[ C(n, 2) = \frac{n!}{2!(n-2)!} \]

По условию задачи, количество способов выбрать 4 дежурных в 13 раз больше, чем количество способов выбрать 2 дежурных:

\[ C(n, 4) = 13 \cdot C(n, 2) \]

Подставим формулы в это уравнение:

\[ \frac{n!}{4!(n-4)!} = 13 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} \]

Упростим уравнение, сократив \( n! \):

\[ \frac{1}{4!(n-4)!} = 13 \cdot \frac{1}{2!(n-2)!} \]

Зная, что \( 4! = 24 \) и \( 2! = 2 \), перепишем уравнение:

\[ \frac{1}{24(n-4)!} = \frac{13}{2(n-2)!} \]

Теперь умножим обе стороны на \( 24(n-4)! \cdot 2(n-2)! \):

\[ 2(n-2)! = 13 \cdot 24 \cdot (n-4)! \]

Заменим \( (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)! \):

\[ 2(n-2)(n-3)(n-4)! = 312(n-4)! \]

Сократим \( (n-4)! \) (при условии, что \( n \geq 4 \)):

\[ 2(n-2)(n-3) = 312 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ (n-2)(n-3) = 156 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ n^2 - 5n + 6 = 156 \]

Переносим 156 в левую часть:

\[ n^2 - 5n - 150 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \]

Находим корни:

\[ n = \frac{-(-5) \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 25}{2} \]

Получаем два решения:

\[ n_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-20}{2} = -10 \]

Поскольку количество туристов не может быть отрицательным, принимаем \( n = 15 \).

Ответ: в группе 15 туристов.